Teorema do Poder do Ponto: Prova de AC × AB = AD^2 com Secante e Tangente

Introdução

Neste artigo vamos entender uma demonstração clássica do poder de um ponto em relação a um círculo. A ideia é demonstrar que, a partir de um ponto externo A, se traçarmos uma secante que cruza o círculo nos pontos B e C, e uma tangente que toca o círculo no ponto D, o produto do comprimento da secante inteira AC pelo segmento externo AB é igual ao quadrado do comprimento da tangente AD. Essa relação é o coração do teorema do poder do ponto, uma ferramenta poderosa em geometria, especialmente quando lidamos com círculos e relações entre tangentes e secantes.

Resumo

Primeiro, definimos a configuração: A é um ponto fora do círculo, a secante passa por B e C (com AB externo e AC a distância de A até C) e a tangente toca o círculo em D. Observa-se que AB e AC são colineares, já que B e C estão na mesma linha que A. Por isso, o ângulo CAD é igual ao ângulo BAD, pois ambos são formados pela mesma semirreta AD com a mesma direção AB/AC.

Em seguida, utilizamos o teorema do ângulo inscrito: os ângulos ACD e ABD subtendem o mesmo arco AD, logo são iguais. Com esses dois pares de ângulos iguais (AA), concluímos que os triângulos ADC e ABD são semelhantes.

Como os triângulos são semelhantes, podemos relacionar suas lados correspondentes. Pela correspondência escolhida, AC (lado do triângulo ADC) corresponde a AD (lado do triângulo ABD) e AD (lado do ADC) corresponde a AB (lado do ABD). Assim, temos a razão AC/AD = AD/AB. Multiplicando ambos os lados por AB e AD, obtemos AC × AB = AD². Essa é a expressão-chave do poder do ponto para secantes e tangentes em relação ao círculo.

Opinião e Análise

Sem opiniões explícitas no vídeo.

Insights e Pontos Fortes

• Mostra de forma clara como usar a semelhança de triângulos para relacionar segmentos envolvendo tangentes e secantes.
• Ilustra o uso do ângulo inscrito (subtende o mesmo arco) para estabelecer congruência entre triângulos.
• Reforça o conceito do poder do ponto em relação a um círculo, conectando o produto AC × AB ao quadrado da tangente AD.
• Demonstra uma técnica de demonstração geométrica baseada em AA (ângulo-ângulo), que é amplamente aplicável em problemas de círculos.
• Fornece uma passagem prática de teoria para cálculo de comprimentos sem precisar de coordenadas, tornando o conceito acessível para estudantes iniciantes em geometria.