Teorema das Cordas que se Interceptam no Círculo: Prova com Triângulos Semelhantes

Introdução

Em geometria, quando duas cordas de um círculo se cruzam dentro do círculo, o produto dos subsegmentos de uma corda é igual ao produto dos subsegmentos da outra. Esse resultado, conhecido como teorema das cordas, pode ser demonstrado de forma elegante usando triângulos semelhantes, ângulos verticais e ângulos inscritos. Neste artigo, vamos decompor a prova de forma clara e prática, destacando os passos-chave para chegar à igualdade AC × CE = BC × CD.

Resumo

O apresentador parte da configuração com duas cordas que se cruzam, criando dois triângulos, ACD e BCE, com o objetivo de mostrar que esses triângulos são semelhantes. Em seguida, ele identifica ângulos correspondentes para estabelecer a semelhança: primeiro, observa que os ângulos ACD e BCE são verticais e, portanto, congruentes. Depois, utiliza o fato de que ângulos inscritos que interceptam o mesmo arco são iguais; nesse caso, os ângulos ADB e AEB interceptam o mesmo arco AB, o que fornece o segundo par de ângulos correspondentes. Com dois pares de ângulos congruentes, os triângulos ACD e BCE são declarados semelhantes. A partir da semelhança, as razões correspondentes entre os lados são iguais, ou seja, DC/CA = CE/CB. Ao reorganizar essa relação, obtemos BC × CD = CE × CA, que é exatamente a expressão AC × CE = BC × CD desejada. Assim, o teorema das cordas fica provado por semelhança de triângulos e propriedades de ângulos.

Esse raciocínio mostra como a semelhança entre triângulos formados pelas interseções de cordas leva a uma igualdade de produtos entre os subsegmentos das cordas. A ideia central é que proporções entre lados correspondentes geram a relação de produtos que caracteriza o teorema das cordas.

Opinião e Análise

Sem opiniões explícitas no vídeo.

Insights e Pontos Fortes

• Demonstração clara do teorema das cordas por meio de triângulos ACD e BCE, destacando a importância da semelhança de triângulos.
• Uso estratégico de ângulos verticais para obter o primeiro par de ângulos congruentes.
• Aplicação do fato de que ângulos inscritos que interceptam o mesmo arco são congruentes, para obter o segundo par de ângulos correspondentes.
• Demonstração de como, a partir de semelhança, as razões entre lados conduzem a uma relação de produtos: AC × CE = BC × CD.
• Apresentação de uma técnica útil de geometria: transformar uma igualdade de razões em uma igualdade de produtos por multiplicação cruzada, tornando a conclusão direta e verificável.