Tangência entre circunferência centrada na origem e a reta x + y = 10: descubra por que k = 50

Introdução

Neste artigo vamos analisar como identificar o valor de k para uma circunferência centrada na origem, com raio igual a raiz quadrada de k, que é tangente à reta dada pela equação x + y = 10. A abordagem envolve substituição de uma equação na outra e o uso da condição de tangência, que em termos algébricos se traduz na igualdade do discriminante a zero. O resultado é um exemplo claro de como geometria e álgebra se conectam para determinar parâmetros desconhecidos.

Resumo

A circunferência tem equação x^2 + y^2 = k, pois está centrada na origem e seu raio é sqrt(k). A reta correspondente é x + y = 10, que pode ser reescrita como y = 10 - x. Ao substituir y na equação da circunferência obtemos uma equação quadrática na variável x: 2x^2 - 20x + (100 - k) = 0. Para que a reta toque a circunferência em apenas um ponto (caso de tangência), o discriminante dessa equação quadrática deve ser zero. O discriminante é Δ = b^2 - 4ac, onde a = 2, b = -20 e c = 100 - k. Calculando Δ = 400 - 8(100 - k) = 8k - 400, impostando Δ = 0 obtemos k = 50. Verificando, substituindo k = 50 de volta na equação resulta em (x - 5)^2 = 0, ou seja x = 5 e y = 5, confirmando o ponto de tangência (5, 5). Esse método ilustra como a tangência entre circunferência e reta pode ser determinada resolvendo o sistema pela condição do discriminante.

Opinião e Análise

Sem opiniões explícitas no vídeo.

Insights e Pontos Fortes

• Demonstra de forma prática como usar a substituição para reduzir um sistema de equações ao estudo de uma única equação quadrática.
• Mostra claramente o papel do discriminante (Δ) na tangência entre círculo e reta, conectando geometria e álgebra.
• Apresenta um método passo a passo que pode ser adaptado para outros pares de circunferência e reta.
• Verificação rápida do ponto de tangência (5, 5) usando a equação resultante para confirmar o valor de k.
• Aborda o conceito de raio da circunferência como sqrt(k), fortalecendo a ligação entre parâmetros geométricos e suas representações algébricas.