Como calcular a área lateral e a área total de uma pirâmide com base octogonal regular

Introdução

Neste artigo, vamos destrinchar o passo a passo para encontrar a área lateral e a área total de uma pirâmide cuja base é um octógono regular com lado de 6 metros e altura de 9 metros. O método envolve trigonometria simples, decomposição da base em triângulos isósceles e aplicação direta de fórmulas de área.

Resumo

Para resolver, começamos identificando que o octógono pode ser dividido em 8 triângulos isósceles, cada um com base de 6 m. O primeiro desafio é encontrar o apótema (a distância do centro até o meio de cada lado), que chamamos de X. Usamos a relação trigonométrica com o ângulo central de 22,5° (porque 360°/8 = 45°, e metade desse ângulo é 22,5°): tan(22,5°) = opp/adj = 3/X, levando a X = 3/tan(22,5°). Em seguida, calculamos a altura de cada face lateral, H, usando o teorema de Pitágoras na figura formada pela altura da pirâmide (9 m) e o apótema X: H² = 9² + X². O passo seguinte é a área de cada face lateral: A_face = (1/2) * base * H = 3H, e como existem 8 faces, a área lateral total (LSA) é 8 * 3H = 24H. A área da base octogonal é obtida pela mesma decomposição: cada triângulo da base tem base 6 e altura X, então A_base = 8 * (1/2) * 6 * X = 24X. Por fim, a área total é a soma da área lateral com a área da base: A_total = LSA + A_base = 24(H + X). Com os valores numéricos, X ≈ 7,24 m, H ≈ 11,55 m, resultando em LSA ≈ 277 m² e A_total ≈ 451 m².

Opinião e Análise

Sem opiniões explícitas no vídeo.

Insights e Pontos Fortes

• Dividir a base octogonal em 8 triângulos isósceles simplifica o cálculo da área da base.
• Utilizar o apótema X = 3 / tan(22,5°) conecta geometry da base com trigonometria de forma direta.
• Aplicar o teorema de Pitágoras para relacionar a altura da pirâmide com a altura de cada face lateral facilita a determinação de H.
• Calcular a área lateral como a soma de 8 triângulos iguais torna o processo claro e repetível.
• Separar e somar as áreas lateral e de base facilita a conferência de resultados: LSA ≈ 277 m² e A_total ≈ 451 m².