Como resolver um problema bonito de geometria: área de um retângulo com círculos tangentes

Introdução

Em muitos problemas de geometria, a surpresa está na simplicidade: ao combinar propriedades de áreas com relações entre círculos e retângulos, é possível chegar a resultados precisos sem precisar conhecer cada dimensão individual. Neste artigo, vamos reproduzir a resolução de um problema apresentado por Rafael Procópio, que envolve um retângulo roxo, um quarto de círculo e um semicírculo, com uma reta tangente que passa pelo vértice do retângulo. O objetivo é encontrar a área do retângulo apenas a partir dessas condições de tangência, sem calcular os raios específicos.

Resumo

O problema coloca um retângulo com um quarto de círculo de raio r e um semicírculo de raio x, com uma reta que encosta no vértice do retângulo e é tangente ao semicírculo. A área do retângulo é calculada como base vezes altura. A altura é o raio do quarto de círculo (r), enquanto a base é a soma do raio do quarto de círculo com o diâmetro do semicírculo (r + 2x). Assim, A = r^2 + 2xr. Em seguida, utiliza-se uma propriedade de tangência: ao traçar o raio até o ponto de tangência, forma-se um triângulo retângulo com catetos x e 10, e a hipotenusa é r + x. Aplicando Pitágoras: (r + x)^2 = x^2 + 10^2, o que leva a r^2 + 2xr = 100. Com isso, como A = r^2 + 2xr, conclui-se que a área do retângulo é 100 cm², independentemente dos raios específicos. Essa solução demonstra a união entre pensamento geométrico e álgebra.

Opinião e Análise

Sem opiniões explícitas no vídeo.

Insights e Pontos Fortes

• A área do retângulo é determinada sem precisar conhecer os raios específicos; basta usar a relação r^2 + 2xr = 100.
• A resolução ilustra bem como a tangência e o teorema de Pitágoras podem fornecer uma igualdade útil para resolver o problema.
• A estratégia de expressar a área como (r + 2x)·r e, ao mesmo tempo, usar a relação resultante de Pitágoras para simplificar, é elegante e didática.
• Combinações entre geometria (círculos, tangência) e álgebra (equação literal com incógnitas) fortalecem o pensamento crítico.
• O resultado final, 100 cm², destaca a beleza de chegar a uma conclusão poderosa sem cálculos extensivos.